函数空间

Function Space 函数空间

函数空间是数学中线性代数和泛函分析领域的一个基本概念，它是一个由具有某些共同性质的函数组成的集合，并且这个集合满足向量空间的公理。这意味着函数空间中的元素（函数）可以进行加法和标量乘法运算，并且这些运算满足向量空间的相应性质。

函数空间可以根据其附加的结构（如范数、内积）进一步分类：

Normed Vector Space) 赋范线性空间是一个向量空间，其中的每个向量（函数）都配备了一个范数（norm），这个范数定义了向量的“长度”或“大小”。范数通常表示为 $| | f | |$ ，满足非负性、齐次性和三角不等式。

Banach Space) 巴拿赫空间是完备的赋范线性空间。完备性意味着空间中所有柯西序列都收敛于该空间内的某个点。许多重要的函数空间（如连续函数空间 $C [a, b]$ 、平方可积函数空间 $L^{p}$ ）都是巴拿赫空间。

Hilbert Space 希尔伯特空间是一类特殊的巴拿赫空间，其中定义了内积（inner product）。内积允许我们定义函数之间的“角度”和“正交性”，使得它同时也是一个欧几里得空间的推广。希尔伯特空间中的元素通常是平方可积的函数。

在函数空间中，如果一组函数是正交的，并且可以用来表示空间中的任何其他函数，那么这组函数就构成了该空间的一个基。函数的正交性是指在一个区间内，两个或多个函数的乘积的积分为零。

\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = 0

那么 $f (x)$ 、 $g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上正交。

傅里叶基是傅里叶级数的基础，它由一组正交的三角函数组成。对于周期函数，可以在一定条件下将其分解为这些基函数的线性组合。

三角函数系：

1, \cos (x), \sin (x), \cos (2 x), \sin (2 x), \dots, \cos (n x), \sin (n x), \dots

这些函数在 $[- π, π]$ 区间上满足正交性：

\int_{- π}^{π} \sin (n x) \cos (m x) d x = 0

\int_{- π}^{π} \sin (n x) \sin (m x) d x = {\begin{cases} π & n = m 0 & n \neq m \end{cases}

\int_{- π}^{π} \cos (n x) \cos (m x) d x = {\begin{cases} π & n = m 0 & n \neq m \end{cases}

勒让德多项式 $P_{n} (x)$ 构成了一个在 $[- 1, 1]$ 区间上带权函数 $w (x) = 1$ 的正交基：

1, x, x^{2} - \frac{1}{3}, x^{3} - \frac{3}{5} x, \dots

切比雪夫多项式 $T_{n} (x)$ 构成了一个在 $[- 1, 1]$ 区间上带权函数 $w (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 的正交基：

1, x, 2 x^{2} - 1, 4 x^{3} - 3 x, \dots

函数空间的概念在计算机科学中，尤其是在机器学习、信号处理、图像处理和数值分析等领域有广泛应用：