函数空间

Function Space
无限维的向量空间，函数空间是一组具有某些共同性质的函数的集合。
共同性质如连续性、可微性、平方可积性等，常见的函数空间包括连续函数空间、可积函数空间和平方可积函数空间。

Normed Vector Space 赋范线性空间
是一个向量空间，其中的元素（向量）不仅能够进行线性组合，还配备了一个范数，这个范数定义了向量的长度或大小。

Banach Space 巴拿赫空间
完备的赋范线性空间被称为巴拿赫空间。

Hilbert Space 希尔伯特空间
一类特殊的Banach空间，其中定义了内积，使得它同时也是一个 Euclidean空间
希尔伯特空间中的元素通常是平方可积的函数。

正交函数的概念可以从向量的正交性推广而来。函数的正交性是指在一个区间内，两个或多个函数的乘积的积分为零

\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = 0

那么 $f (x)$ $、 g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上正交。

傅里叶级数的基础

三角函数系:
$1, s i n (x), c o s (x), \dots, s i n (m x), c o s (m x), \dots, s i n (n x), \cos (n x) \dots$

\begin{aligned} \int_{- π}^{π} s i n (n x) d x = 0 \\ \int_{- π}^{+ π} s i n (n x) c o s (m x) d x = 0 \\ \int_{- π}^{+ π} s i n (n x) s i n (m x) d x = 0 \end{aligned}

\begin{array}{r} \int_{- π}^{π} c o s (n x) c o s (n x) d x = \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} (1 + c o s (2 n x)) d x = π \end{array}

\begin{array}{r} 1, x, x^{2} - \frac{1}{3}, x^{3} - \frac{3}{5} x, \dots \end{array}

\begin{array}{r} 1, x, 2 x^{2} - 1, 4 x^{3} - 3 x, \dots \end{array}